統計學(一) 筆記 - 第五章 離散機率分配(Discrete Probability Distributions)

筆記說明

此筆記用途在於台北科技大學資訊與財金管理系大二上統計學重點整理
並非所有人都適用，部分對我而言稍加容易的內容並不會寫在此內。
這是觀看影片心得後的筆記，老師上課可能不太適用會忘記抄到

Random Variables 隨機變數

使用哪一個機率分配的用法教學

離散均勻 發生n次 則每一次的機率就是1/n
二項 N次試驗中成功的次數
負二項 N次試驗中r次成功的次數
幾何 在第一次成功的次數
卜瓦松 在特定的空間內發生的次數
超幾何 N次試驗中成功的機率(但取後不放回)

隨機變數共有三種，如下圖：

Discrete Random Variable 離散隨機變數

• Finite Number of Values
  在已知的集合中隨機抽出的元素。
• Infinite Sequence of Values
  在無限的集合中隨機抽出的元素，此集合大小為Infinite。

Continuous Random Variable 連續隨機變數

• 元素是取區間，類似此概念 \([a,b]\)
• 或數值無法一一列舉，例如關於小數點的實驗

Discrete Probability Distributions 離散機率

• 用指派來指派每一個元素的機率
• 用公式推出，且要符合此公式 \(f(x) \geq 0\) and \( \sum_{}^{} f(x) = 1 \)

Expected Value 期望值

期望值不一定是集中中的元素，通常時多次實驗結果將其加權平均，平均的結果即是期望值。
期望值公式如下：

Variance and Standard Deviation 變異程度與標準差

變異數公式如下：

再將變異程度開根號即是標準差，圖片說明如下：

Discrete Uniform Probability Distribution 離散均勻分配

表示他的每一種實驗結果機率分配都一樣

Bivariate Distributions 二元分配

用兩種實驗，來找出他們的關係。

這兩次實驗我用 x,y 來代稱，先算出 x 的變異數與期望值，再算出 y 的變異數與期望值。

用圖片進行解釋，圖片說明如下：

其中的 Covariance(共變異數) 怎麼算呢？

透過範例投資組合結果如下表：

通常共變異數比變異數更重要

Binomial Probability Distribution 二項機率分配

• 包含 n 次試驗，這裡用 X 表示成功、Y 表示失敗
• 實驗結果不會因為時間而改變
• 每次的試驗是獨立的

公式如下：

舉例實驗如下：

Negative Binomial Probability Distribution 負二項機率分配

• 此實驗包括 n 次相同試驗
• 實驗獨立
• 只有成功與失敗
• 通常是找出在第 r 次時，失敗與成功的機率與多少

公式如下：

假設我們要找出可以兩次的正面實驗機率，圖表如下：
注意：你可能會有一個疑問是應該擲越多次機率越高阿？假設在第二次就擲成功時，那就是在第二次成功，往上的每次都不會紀錄

Geometric Probability Distribution 幾何機率分配

• 此實驗包括 n 次相同試驗
• 實驗獨立
• 只有成功與失敗
• 找出第一次成功的機率分配

公式如下：

舉例如下：

統整負二項機率分配 and 幾何機率分配

Poisson Probability Distribution 卜瓦松機率分配

在一個時段內找出有 x 個一樣結果的機率為和，例如在一個期間有多少車子通過高速公路收費站

特性

• 任一個長度區間兩個發生事件的機率相同
• 在各個區間發生的事件都是獨立

公式如下：

舉例：

在 30 分鐘來 4 個病人的機率是多少，且平均一小時會來 6 個病人

Hypergeometric Probability Distribution 超幾何機率分配

在 n 個試驗中成功的機率。

• 實驗並不獨立
• 只要做完一個實驗就會影響到其他機率

公式如下：

舉例：